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¿Cuántas damas (o reinas) puede haber en una partida de ajedrez?

Una pregunta aparentemente simple que, sin embargo, esconde un importante matiz. Lo bonito del reto es que te preguntes – justo ahora – cuál puede ser el detalle “oculto”. Luego, cómo no, buscaremos algunas respuestas…

Una imagen simbólica: la D de Dama

De nuevo, me encontré con esta pregunta en la versión en español de Quora. La pregunta exacta realizada fue ¿Cuántas reinas puede haber en una partida de ajedrez?

Dejando de lado la distinción en la terminología entre “dama” y “reina” vamos a especificar un poco más la cuestión.

Pregunta: Teniendo en cuenta que ambos equipos cuentan con una reina (o dama) al comienzo de la partida, ¿cuántas reinas podría haber, como máximo – sumando las de ambos equipos -, en una partida de ajedrez?

Aparentemente, la contestación es simple. Hay 2 reinas – o damas – al inicio del juego. Y luego hay 8+8=16 peones, en total. Si todos los peones promocionan y piden una reina podría haber, como máximo, 16+2=18 reinas en una partida de ajedrez. Por ejemplo, podríamos poner esta posición, en la cual ignoramos los reyes (al final resolveremos esto). Aquí todos los peones están a punto de convertirse en reina/dama:

Como los peones blancos salieron de la fila 2 y los negros de la fila 7 parece que tendrá lugar una promoción multitudinaria. Siendo P=Peón y D=Dama: 1.Pa8=D Pa1=D 2.Pb8=D Pb1=D, y así hasta las 18 damas.

Simple, ¿no? ¿Siguiente pregunta?

Ésta es la respuesta que reciben los principiantes cuando el profesor de ajedrez les plantea la cuestión y no tienen clara la contestación. Sin embargo… ¿es válida? Hasta la contestación de Quora (agosto de 2018), nunca había puesto por escrito el argumento que sigue; ni tampoco lo había escuchado nunca, de voz ajena. He decidido incluirlo en mi nuevo libro, en el capítulo dedicado al peón.

El verdadero reto “oculto” de la pregunta reside en la cuestión de si todos los peones pueden llegar al final de una columna y promocionar. A fin de cuentas – y éste es el detalle – ¡están todos los peones enfrente unos de otros!

¿Es técnicamente posible que los 16 peones peones se “regateen” y consigan promocionar? Es decir, ¿podría alcanzarse algo como esta imagen, en la cual todos los peones se han regateado y están a punto de coronar?

LA CONJETURA

Podemos establecer aquí una conjetura: “los peones pueden alcanzar esta disposición, y entonces sí puede haber 18 reinas en una partida de ajedrez”. Faltarían por añadir las 2 damas y los 2 reyes originales (estos a cubierto), pero es sencillo. ¡Ahora vamos a lanzarnos a intentar “resolver la conjetura”!

En ajedrez, sólo existe una forma de “regatear” con los peones: realizando capturas, con el fin de cambiar de columna.

Ahora bien, para conseguir 18 reinas, no se pueden capturar 

1) los peones,

2) las reinas iniciales,

3) los reyes – intocables en ajedrez -.

Así que el número de piezas que capturar del otro equipo es muy limitado… ¡6 piezas! Desglosado: en las filas del fondo, al comenzar la partida, las 3 piezas que están en el lado izquierdo y las 3 que están en el lado derecho.

¿Pueden los 16 peones regatearse entre ellos, con sólo 6 capturas por parte de cada equipo de piezas? ¿Cómo podrían intentarlo? Podemos examinar algunas hipótesis de salida para extraer factores relevantes.

SIMULACIONES E HIPÓTESIS: INTENTO 1

Para empezar, podemos “recortar” el problema. Tomamos 2 peones blancos y 2 negros en columnas adyacentes y vemos cómo pueden esquivarse:Inicialmente podemos suponer que cada peón blanca captura 2 piezas negras para regresar a su columna cuando le haya pasado un peón negro. Si hubiera piezas que capturar en las casillas c3 y d4, el peón d2 blanco podría hacerlo:

1.Ÿdxc3 Ÿd3, se espera a que llegue una pieza a d4 y se captura con 2.Ÿcxd4.

El peón blanco ha “regateado” al peón d3 negro.

Con todos los peones, esta idea podría plantearse así:

Aquí el peón a4 blanco captura en b5 y luego en a6, regresando a su columna original y coronando en a8. Mientras, el peón a5 negro recibe paso, al abandonar el peón blanco la casilla a4. Los peones de la columna “a” pueden llegar entonces a la situación de nuestra conjetura:

Inconveniente de esta hipótesis: si cada peón blanco debe realizar 2 capturas, realizar el proceso con los 8 peones blancos superaría el número de piezas capturables (8 peones x 2 capturas = 16 piezas negras a capturar).

INTENTO 2 – El abrazo

Investigando un poco más se puede apreciar un detalle: organizando las capturas sólo en esas 2 columnas en las que están los peones, estos pueden organizarse para cederse mutuamente el paso. Ésta es la situación clave, que yo llamo “el abrazo”:

La secuencia, aún sin piezas “comestibles”, recuerda al truco del lazo que “no se puede deshacer”:

1) El peón e5 blanco comerá una pieza en d6;2) El peón e6 negro avanzará hasta e4, o más;

3) El peón d4 blanco comerá una pieza en e5;4) Todos los peones avanzarán libremente hasta coronar (aunque aquí los dejaremos en la posición de la conjetura).Con piezas que capturar – caballos negros – nuestros peones blancos se podrían encontrar, de comienzo, con algo así.Donde la secuencia anterior es reproducible sin problemas.

Así, ya sabemos que para situar 4 peones en la posición de la conjetura bastan sólo 2 capturas blancas. Si empezamos el ejercicio por la izquierda podemos llegar a esto:

SOLUCIÓN COMPLETA (con movimientos de peón; sin piezas grandes)

Ahora vamos a traducir nuestra idea en jugadas.

En la notación siguiente el signo “x” expresa la captura de una pieza “grande”, que habremos puesto en esa casilla para ser capturada. “Cb” significa “las blancas capturan una pieza” y “Cn” que “las negras capturan una pieza”. Así luego podremos sumar las Cb y Cn y averiguar las capturas totales.

X: captura

CB: captura blanca

Cn: captura negra

La posición anterior puede alcanzarse por medio de 1.Ÿa4 Ÿa5 2.Ÿb4 Ÿb6 3.Ÿb5. Ya tenemos “el abrazo”

Ahora vamos a deshacer el lazo…

3…Ÿaxb4 (Cn*) 4.Ÿa5

* En principio, esta captura no podría producirse, ya que el peón blanco estaba justo ahí una jugada antes. Es por abreviar jugadas: el negro podría haber “pasado” moviendo una pieza grande a cualquier casilla, el blanco entonces llevaría su pieza “comestible” a esa casilla b4 y el peón negro la capturaría.Ahora repetimos el “truco”:

1) el peón a5 blanco va a avanzar, dejando que

2) el peón b6 negro pueda capturar una pieza en a5 para que

3) el peón b5 blanco adquiera paso.

4…Ÿb3 5.Ÿa6 Ÿbxa5 (Cn). ¡El lazo se ha deshecho!6.Ÿa7 Ÿa4 7.Ÿb6 Ÿa3 8.Ÿb7 Ÿa2 9.Ÿc3 Ÿb2Ahora van otras 2 capturas con peones negros, para que los peones de las columnas c y d se autoorganicen y se cedan el paso:

10.Ÿc4 Ÿd5 11.Ÿc5 Ÿc6 12.Ÿd4 Ÿdxc4 (Cn) 13.Ÿd5 Ÿc3 14.Ÿd6 cxd5 (Cn) 15.Ÿc6 Ÿc2 16.Ÿc7 Ÿd4 17.Ÿd7 Ÿd3 18.Ÿe3 Ÿd2Van 4 capturas negras. De seguir así con los restantes 4 peones negros, rebasaríamos el límite de capturas disponibles (6 piezas blancas). Afortunadamente, esta es una tarea de equipos, por lo cual las blancas son las que van a comer ahora 2 piezas negras.

19.Ÿe4 Ÿf5 20.Ÿf3 Ÿf4 21.Ÿexf5 (Cb) Ÿe5 22.Ÿf6 Ÿe4 23.Ÿf7 Ÿe3 24.Ÿfxe4 (Cb) e2 25.Ÿe5 Ÿf3 26.Ÿe6 Ÿf2 27.Ÿe7

¡Y finalmente las últimas 2 capturas blancas para realizar el último regate! Voy a organizar las jugadas para que los peones queden justo en fila en la posición final.

27…Ÿh6 28.Ÿg4 Ÿh5 29.Ÿh3 Ÿh4 30.Ÿgxh5 (Cb) Ÿg5 31.Ÿh6 Ÿg4 32.Ÿh7 Ÿg3 33.Ÿhxg4 (Cb) Ÿg2 34.Ÿg5 Ÿh3 35.Ÿg6 Ÿh2 36.Ÿg7Sumando los Cb y Cn tenemos 4 capturas blancas y 4 capturas negras. Así que ¡conjetura demostrada!

Sí, son posibles 18 reinas simultáneas en una partida de ajedrez. No es la prueba más rápida de la conjetura, pero es lineal y sencilla de comprender.

Ahora basta con añadir unos retoques para ver una posición que va a terminar con esas 18 reinas a la vista prontamente. Añadimos las 2 reinas o damas primigenias – de comienzo de partida – y los 2 reyes. Para que ningún rey quede en situación “comestible” coronaremos unos pocos peones en nuevas reinas para darles cobertura:

Luego, uno tras otro los peones irán coronando… Como puedes suponer, la posibilidad de encontrar una partida con 18 reinas, legalmente jugada, es extremadamente baja. ¡Hasta los niños o niñas pequeños que empiezan, y suelen “olvidarse” a menudo de sus piezas, lo tendrían muy difícil para producir semejante “orden dentro del caos”!



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