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¿Una calculadora con un tablero de ajedrez y peones?

¿Quieres sorprender a tus chicos/as? Hoy vamos a usar un tablero de ajedrez y los peones como una calculadora que puede sumar, restar o multiplicar números de hasta dos cifras, con gran rapidez. Así que, si te atreves a intentarlo, ¡pide que reten!Hoy vamos a comentar visualmente un “truco” que suele dejar a los niños “flipados” (si se hace rápido). Como me parece chulo incluso encontré un hueco para comentarlo, muy-muy de pasada, en la Universidad – en Didáctica del ajedrez, apartado de matemáticas -. De hecho, voy a tomar las imágenes directamente de algunas de las diapositivas, por lo que puede que la calidad no sea óptima…

Como ya vimos en el escape imposible, un tablero de ajedrez como ser utilizado como un dispositivo binario. Aunque en ese caso, que los chicos se salvaran era algo más complicado…

Vídeos: ¿Un escape imposible? (partes 1 y 2)

Como respeto al sistema binario, vamos a dividir el proceso en 8 pasos. Voy a comentarlos sólo un poco; creo que las imágenes hablan por sí mismas.

PASO 1: Convertir un número decimal en binario

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Básicamente, tomamos el número (aquí el 22) y vemos cuál es la mayor potencia de 2 que “encaja” en él. Aquí es 2 elevado a 4; es decir, 16. Cada cruz verde marca una posición “activa”, una potencia de 2 que “ha entrado”.

Luego nos quedan 22 – 16 = 6 unidades decimales por cubrir. Vemos, así, que no entra 2 elevado a 3: serían 8 unidades decimales (nos pasamos de 6). En cambio, entra bien 2 al cuadrado: 16 + 4 = 20. Luego, última entrada con 2 elevado a 1: 20 + 2 = 22.

Cada cruz verde simboliza un “bit encendido”, una potencia de 2 que compone el número 22. Si tomamos peones, un peón blanco simboliza un “bit encendido” – o una cruz verde – y un peón negro un “bit apagado”, o una cruz roja.

La multiplicación que vamos a realizar es 22 x 5.

PASO 2: Trasplantamos los peones al tablero de ajedrez

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¿Recuerdas la leyenda sobre el origen del ajedrez? En ella se ponía un grano de trigo en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente, multiplicando por 2 la cantidad de granos de trigo de la casilla anterior.

Si empezamos por la esquina superior derecha (enseguida veremos por qué), las potencias de 2 – hasta 2 elevado a 7; o sea, 128 – quedan distribuidas de derecha a izquierda. Vamos a colocar en las casillas de la fila superior del tablero los números que vamos a operar – aquí el 22 y el 5 -, en su versión binaria. Para ello colocamos los peones que representan cada número en binario en su posición correspondiente.

PASO 3: Operación multiplicación (en realidad, copiamos el número)

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Empezamos por la multiplicación porque engloba también la suma. Es sencillísima de realizar:

a) Multiplicar por un peón negro es como multiplicar por 0. El resultado serían todo peones negros (bits “apagados”). Luego veremos que es más rápido dejar el espacio vacío – no poner nada -.

b) Multiplicar por un peón blanco es como multiplicar por 1. O sea, copiar exactamente el número de arriba, en el lugar que le corresponde.

PASO 4: Dejamos el espacio a la derecha

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Como en la poco práctica forma de multiplicar que nos enseñaban de pequeños. Comienzo a desarrollar la operación para que vayas viendo el resultado de multiplicar por un peón blanco o negro. Como ves, si hay un peón blanco copio idénticamente los peones que representan el número superior. Si hay un peón negro, dejo todo como peones negros.

PASO 5: Operación suma

A la izquierda se muestran las 3 posibilidades existentes:

a) peón negro + peón negro = peón negro. Algo así como 0 + 0 = 0.

b) peón blanco + peón negro (o a la inversa) = peón blanco. Similar a 1 + 0 = 1

c) peón blanco + peón blanco = peón negro y pasa una unidad binaria – un peón blanco – a la siguiente columna. Aunque no sea muy correcto, puedes imaginarlo como 1 + 1 = 2; pero como en binario sólo hay “0” y “1” (y no puedo poner “2”), entonces dejo 1 y me llevo otro 1. Lo marco como un peón blanco tumbado hacia la columna que debe ir – abajo – y luego sumado a la columna que le toca – tumbado sobre esa columna -.

Si en la nueva columna se “reúne” con más peones blancos – aquí hay 2, en total, en la columna izquierda – se realiza la operación suma normal. En este caso: peón blanco + peón blanco = peón negro y paso 1 peón blanco a la última columna. Lo he puesto directamente para no saturar con muchos peones blancos “voladores”.

PASO 6: Calculamos la suma total, fila a fila

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PASO 7: Reconvertimos la solución binaria a decimal

O sea, computamos los peones blancos, canjeándolos por el valor de cada casilla en numeración decimal. Aquí 64  + 32 + 8 + 4 + 2 = 110.

PASO 8: Para agilizar el proceso podíamos haber eliminado los peones negros del desarrollo, y también de los números iniciales

El resto es entrenar un poco, para hacerlo con cierta velocidad.

RESTA DE DOS NÚMEROS

PASO 1) Convierto la resta en una suma

Y dejo vacío el espacio superior.

PASO 2) Relleno el número superior para que debajo cuadre la operación suma

PASO 3) Si puede haber 2 peones blancos, tengo cuidado con el peón que pasa a la otra columna

Aquí, para obtener un peón negro debe haber en la penúltima columna Peón blanco + Peón blanco. Da peón negro, más el peón “saltarín”, que pasa a la columna izquierda. Ahí también se juntan dos peones blancos, por lo cual sólo sirve colocar un peón negro en el número superior.

 

Ya ves: una forma interesante de calcular con un tablero de ajedrez y peones. ¿Te ha gustado? ¿Lo vas a intentar con los niños?



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