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Juegos en un tablero de ajedrez: el Nim de Wythoff

¿Por qué emplear una dama, y no una simple torre, en el siguiente juego sobre un tablero de ajedrez? El juego llamado “Nim de Wythoff” ofrece una curiosa explicación.

24 de marzo de 2019

Antes de ayer, en el III Congreso virtual de AjEdu (Ajedrez y Educación), esta vez dedicado a la transversalidad entre “ajedrez” y matemáticas, se comentaron muchas cosas interesantes.

Entrecomillo “ajedrez” porque es más bien el empleo del tablero y las piezas de ajedrez, pero con pocas relaciones significativas entre ellas (algo muy diferente a una partida de ajedrez, por lo que no está claro si deberíamos llamarlo “ajedrez”).

UN JUEGO SENCILLO CON NÚMEROS PRIMOS

Hace unos añitos, en el transcurso de una conferencia, presenté un juego juego con reglas muy sencillas, relacionado con el tablero de ajedrez y los números primos:

Básicamente:

  • 2 jugadores, por turnos
  • Se mueve la dama un número primo de casillas de una cifra (2, 3, 5 ó 7)
  • Gana el que llega a la bandera, sin pasarse

En el siguiente vídeo se explica (minuto 12, aproximadamente):

Por cierto, puedes ver la Conferencia de Ajedrez y Matemáticas (Zaragoza, 2 de octubre de 2015) en el enlace siguiente:

¿NIM? ¿QUIÉN ES NIM?

¿Por qué en el juego de los números primos se emplea una dama de ajedrez? ¿No valdría una torre? Ciertamente sí, pero es una forma de rendir homenaje al juego en el que dos jugadores van quitando palillos, o monedas, o fichas, alternativamente (cada jugador en su turno): el juego de Nim. En este juego el que quita el último palillo (o los últimos) pierde.

¿De dónde procede ese extraño nombre, Nim? Según cita el gran divulgador matemático Martin Gardner – en su libro Matemáticas para divertirse “[el nombre] Nim le fue dado en 1901 por Charles Leonard Bouton, un profesor de matemática de la universidad de Harvard, que fue el primero en realizar su análisis completo. “Nim” es una palabra inglesa obsoleta que significa “robar o llevarse”.” ¡Pues vaya tela! Por tanto, parece apropiado ilustrar el juego con monedas.

Un juego de Nim con monedas, expuesto por Martin Gardner. Cada jugador puede tomar las monedas que desee, pero sólo de una fila. Pierde el que retira la última moneda.

MÁS ALLÁ DE NIM: EL JUEGO DE WYTHOFF

Como contraparte del Nim tradicional tenemos también otro que nos interesa: el llamado Nim de Wythoff, matemático holandés que publicó en 1907 un análisis matemático del juego. A diferencia del Nim “normal” éste incluye la opción de poder coger fichas de ambos montones, pero siempre en igual cantidad de cada montón. Trasladado a fichas (o piezas) de ajedrez:

Pero hay una diferencia más: aquí el que quita la última pieza gana. Por ejemplo, si arriba juego yo primero y quito los 7 peones blancos, tú ganas porque quitas los 4 peones negros restantes. Pero si quito 3 peones blancos y 3 negros, tú aún tendrías que pararte a pensar qué pasa… ¿o quizá no?

La verdad es que me sorprende no haber escrito antes sobre este juego, ya que está muy difundido (aparece, por ejemplo, en el último número de la revista Chess Plus). Su sencilla y “bonita” resolución – al menos de la versión “light” – sobre un tablero de ajedrez es la que hace que en estos juegos resurja la figura de la dama. ¿Por qué? Vamos a verlo de forma sencillita.

JUGANDO AL NIM-WYTHOFF CON UNA DAMA DE AJEDREZ

  • Casillas de color amarillo: fichas del montón A (o sea, 2 fichas)
  • Casillas de color verde: fichas del montón V (o sea, 2 fichas)
  • Dama: mueve como una dama, pero sólo hacia la izquierda o hacia abajo (incluye en diagonal hacia la izquierda y hacia abajo)

Supongamos que quieres coger una ficha del montón A (amarillo). Mueves la dama una casilla hacia la izquierda.

  • Montón amarillo: 1 ficha.
  • Montón verde: 2 fichas.

Ahora es el turno del otro jugador. Puede coger una ficha del montón verde:

  • Montón amarillo: 1 ficha.
  • Montón verde: 1 ficha.

Ahora puedes coger 1 ficha de cada montón y ganas el juego. Como vemos, el jugador que primero alcanza la casilla de la esquina (0 fichas) es el ganador. Ahora volveremos a esto, pero antes una pregunta de comprobación.

Si en la situación inicial (dama en c3), el otro jugador toma 2 fichas del montón verde, llegando a la situación siguiente, ¿ganas?

Ciertamente sí, al recoger las 2 últimas fichas del montón amarillo. De nuevo, llegas a la casilla a1.

LA JUGADA “ESPECIAL” DE WYTHOFF

Pero lo que hace diferente este juego es la posibilidad de quitar fichas de los dos montones. Como la cantidad que quitamos de ambos montones es la misma, esto puede ilustrarse con una jugada diagonal de dama:

La dama – que venía de la casilla c3 – ha recogido “a la vez” 1 ficha del montón amarillo y 1 ficha del montón verde.

Como ya sabemos, el jugador que mueve ahora gana, repitiendo esa misma jugada. Este era el significado del color rojo en una casilla de la dama: el que juega pierde.

¿Podemos entonces encontrar una solución retrospectiva? O sea, ¿buscando “hacia atrás”? ¡Ciertamente!

HOLA, SOY ARIADNA Y BUSCO UN HILO (MINOTAUROS: ABSTENERSE DE CONTESTAR)

Sabes que el que llega a la casilla de la esquina inferior – a1 – gana. Por tanto, si te toca mover y puedes alcanzar a1 vences. Luego todas las casillas que permiten a tu dama alcanzar la casilla a1 en un tablero vacío (marcadas en color verde) sirven para que triunfes:

Como ves hay 2 casillas rojas, situadas a salto de caballo de la casilla a1… Como desde ellas es obligatorio mover hacia la izquierda o hacia abajo se entra en la zona verde: ¡mal augurio para el jugador que tenga el turno!

Traducido: b3 y c2 son casillas perdedoras para el jugador que mueva.

Lo cual podemos emplear para seguir “tirando del hilo”. Si te tocase mover, ¿desde que casillas podrías llevar la dama a b3 ó c2 para así ganar el juego (ya que le tocaría mover al otro)? ¡Voilà un sinfín de casillas amarillas!

Resumen:

  • casillas verdes: permiten alcanzar la esquina (y ganar)
  • casillas amarillas: permiten alcanzar las casillas rojas b3 y c2 (y ganar, ya que el otro pierde si está en una de ellas)

Continuando de esta forma podemos obtener dos casillas rojas extras: d6 y f4. Si estamos en ellas sólo podemos mover abajo y a la izquierda, pero nunca alcanzar b3 ó c2. Así, pues, son casillas perdedoras para el jugador que mueve

Ya tendríamos las casillas ganadoras y perdedoras en un tablero de ajedrez, desde nuestro punto de vista del juego; es decir, si nos toca mover a nosotros y la dama está en esas casillas. Con ellas puedes saber si ganas o pierdes en un Nim de Wythoff con montones de hasta 7 fichas cada uno (14 fichas, en total).

¿JUGAMOS UNA PARTIDITA DE NIM-WYTHOFF CON LA DAMA?

Veamos el ejemplo de partida típico (el que suele citarse a menudo) que, por supuesto, comienza con cantidades diferentes de fichas en cada montón. De comenzar con cantidades iguales, la dama estaría ya en la gran diagonal, tú quitarías todas las fichas de ambos montones y ganarías sin despeinarte.

La dama está situada en e8, por lo cual los montones son de:

  • 4 fichas (montón izquierdo) y
  • 7 fichas (montón derecho, “hacia abajo”)

Recordemos que la partida se jugaría con 11 fichas reales, pero vamos a ver la versión “dama de ajedrez”, consistente en que gana el jugador que alcance la casilla a1 con la dama.

Dejamos en color las casillas con “desenlace conocido”, para saber en todo momento qué está ocurriendo realmente en la partida.

Para hacer el efecto un poco más dramático (jeje) nos toca mover a nosotros. Tomamos una ficha del montón de la izquierda:

A continuación, nuestro amig-o-ponente, un niño de 8 años, con cara de relax total, coge dos fichas del montón derecho (movimiento hacia abajo):

De nuevo, nuestro futuro parece estar escrito (por lo cual se transcribe en destino). Quedan 3 y 5 fichas en los montones, así que vamos a probar algo diferente: intentamos esquivar los hados recogiendo una ficha de cada montón (movimiento diagonal).

El niño, realizando previamente un estudiado estiramiento de brazos, desplaza la dama hasta… ¡sí, c2! capturando 3 fichas del montón derecho.

Definitivamente el Rubicón está cruzado, y alea jacta est – la suerte está echada – es la sentencia justa aquí. La rendición – como en ajedrez – valdría, pero el juego suele terminar en la recogida física de la última ficha. Por lo cual…

Rara es equivocación en juego tan avezado, que diría algún poeta. Lo esperado será lo realizado: el niño toma una ficha de cada montón y gana el juego de Wythoff:

ANÁLISIS DEL JUEGO

Como sabíamos de antemano, el juego estaba perdido de inicio. Algo parecido a lo que puede suceder con el juego del ajedrez “clásico” (quizá pronto sepamos que ya son tablas en el momento de empezar). Pero aquí el futuro ganador necesitaba realizar las jugadas correctas en cada momento. Como puede apreciarse, eso fue justo lo que ocurrió:

Ahora llegaría una pregunta crítica: ¿sabía realmente el ganador lo que estaba haciendo en cada momento? ¿Conocía de antemano adónde debía ir para ganar el juego? ¿Se dejó guiar por un par de casillas que dejaban la casilla inicial y la final “a salto de caballo”?

La verdad es que aquí eso nos da igual – no sería “trampa” disponer de información previa -. Pero esta situación sí es habitual en el ajedrez de torneo (se incluyen las partidas de clase) de niños y niñas: es notable – y desequilibrante – el papel del “conocimiento” previo en los resultados ajedrecísticos. Y, por ende, en su motivación, sus emociones y sentimientos (los resultados en torneo a menudo se traslucen de forma clara), etc.

Es algo que la gente no suele apreciar cuando mira “desde fuera” [los torneos de ajedrez de los niños], al igual que tampoco hubiera apreciado nada extraño al ver la partida anterior de Nim-Wythoff.

“CONOCIMIENTO”… ¿O NO LLEGA A ESO? PIRÁMIDES, PERO NO EGIPCIAS

Aprender el jaque mate pastor, a “montar el tren” – dama delante, alfil detrás – para dar mate en h7, “trucos” para ganar pronto con la apertura italiana… ninguno de los cuales han deducido ellas o ellos previamente – al igual que, muy probablemente, no había hecho nuestro niño de 8 años del Nim de Wythoff -.

Tal “conocimiento” a menudo no suele ser realmente comprendido por ellos más que como algo “aislado” de otros aspectos más “lógicos” del juego – , por lo que no puede sino bajar peldaños en la posible escalera 1) datos –> 2) información –> 3) conocimiento –> 4) entendimiento –> 5) sabiduría. Del peldaño 3 al 2, cuando no al peldaño 1.

Esta escalera, o pirámide de Ackoff, sólo pretende ser un marco temporal para poder hablar con cierta claridad de estos conceptos tan líquidos hoy día. Es una extensión de las llamadas pirámides DIKW de “jerarquía del conocimiento”. Como ves, hoy los apellidos acaban en off – Wythoff, Ackoff –; pero espero que tú aún sigas on :)

Esta es una ilustración ligeramente modificada (color, proporción) de la pirámide de Ackoff, pero creo que sirve para aclarar algunos aspectos. De forma muy básica, según Ackoff:

  • 1) Datos: elementos discontinuos que representan hechos. Por sí solos representan poco.
  • 2) Información: datos procesados para ser útiles. Describe: qué.
  • 3) Conocimiento: algo así como “redes de conexiones” que permiten la aplicación [mental] de datos e información. Instruye: cómo.
  • 4) Entendimiento: explica (apreciación del porqué).
  • 5) Sabiduría: entendimiento “evaluado”. Permite obtener “visión”: algo así como “saber qué es mejor” (definitiva o probabilísticamente), al obtener una visión global de un tema. Este sería el único aspecto que tiene que ver directamente con el futuro.

Naturalmente, todos ellos siguen siendo debatidos.

Los datos son algo concreto, medible; la información es algo concreto, medible. En cambio, el conocimiento es algo diferente, dinámico.

Es como querer pasar los “valores materiales” de las piezas de ajedrez (peón = 1 punto, alfil = 3 puntos…), inexistentes más allá de una mera aproximación que sirve de guía, por valores reales, dinámicos, que fluctúan durante una partida de ajedrez. Algo que se hace muy a menudo :$

Y también entronca – o, más bien, se le fuerza a entroncar – con cierta paradoja, habitual en los medios de comunicación (a menudo, en la sección de “Educación”, habría que añadir).

“CONOCIMIENTO” vs GOOGLE (buscador) ¿0-1?

La situación es similar, en cierta medida, a la que ocurre con el “conocimiento” extraíble de las búsquedas en Google. Es relativamente frecuente escuchar sentencias del tipo “¿Para qué deben los niños memorizar tantos datos, cuando pueden encontrarlos con una sencilla búsqueda en Google?”. ¿No basta para conocer algo googlearlo?

Podríamos comparar esto con la partida anterior de Nim-Wythoff, vista desde fuera [por quien no conoce su solución previa].

Las jugadas son 1) datos; una vez procesados estos datos podrían convertirse en 2) información; un estudio hacia atrás de la partida, y su expansión hacia un tablero de ajedrez completo, llevaría a 3) conocimiento de lo que ocurre en una partida de Nim-Wyhoff con 7 fichas como máximo en cada montón. Es decir, un conocimiento parcial del juego completo.

Para integrar 1) datos y 2) información sobre un tema necesitas 3) haber generado – tú mismo – conocimiento estructurado (entendible, accesible y manejable por ti) previo de ese tema.

CONCRETO Y ABSTRACTO

El niño de 8 años sí puede haber ganado el “juego de la dama” conociendo 3 datos simples: “casillas d6, c2, b3” y estructurándolos en una información igualmente simple: “d6, c2 y b3 son casillas ganadoras para el que juega”.

Por contra, ¿podría el niño haber ganado [conscientemente] el juego de las fichas (sólo, sin el tablero y la dama)? Aparentemente no: tendría que “procesar en paralelo” cantidad de fichas y coordenadas, lo cual resulta en algo abstracto, difícilmente manejable por su limitada memoria de trabajo.

MUCHO MÁS DE LO QUE PARECE

Ahora bien, ¿y si conociera la siguiente tabla sencilla, donde las fichas del montón inferior resultan de la suma de las filas superiores?

¿Podría utilizar la información de la siguiente imagen para ganar cualquier juego, siempre que empezara él?

Solución de Wythoff al juego de Wythoff. La coordenada inferior izquierda es (1,1), por lo que debemos añadir una fila debajo y una columna a la izquierda para convertirlo en el “juego de la dama”. Para ganar el juego basta con mover la dama hasta cualquiera de las casillas de color. Enlace imagen (Wikipedia). Autora:
Polina Godz

En la imagen superior para ganar basta mover la dama (el punto negro de allá arriba) hacia abajo, hasta la casilla de color número 20. O tomar 12 fichas de ese montón.

En realidad es relativamente sencillo confeccionar dicha tabla. Pero extraer conocimiento de ella implica, en nuestro caso, algo bastante “sorprendente”: utilizar el número aúreo y la sucesión de Fibonacci. No lo voy a hacer aquí, porque está bastante bien explicado en la entrada de la matemática Clara Grima (entre otras).

Dejo también el enlace directo del breve artículo de ChessPlus sobre el juego de Wythoff.

Espero que te haya gustado :) Cualquier comentario – especialmente si es tuyo – es bienvenido, ¡hasta la próxima!



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